ریاضی دانشگاه نیشابور

براي درك بهتر مي توان به تنظيم دماي اتاق به وسيله كنترل سرعت پروانه يك هيتر ابتدا بوسيله

۱ ديده مي شود - و بعد بوسيله كنترل فازي اشاره نمود.همان طور كه در شكل ۱ " on/off " کليد

۱ : يک کنترل کننده دمای ساده - شکل ۱

هيتر کنترل کننده

منطق فازي 2

٢۵ درجه مي رسد هيتر را خاموش مي كند. در نتيجه تنظيم دماي اتاق به خوبی صورت نمی گيرد.

اما كنترل كننده فازي هيتر بر اساس منطقي است كه ما به هنگام تنظيم دستي پروانه را در نظر

مي گيريم، مثلا ً : "اگر دماي اتاق خيلي سرد بود ، سرعت پروانه خيلي زياد باشد "، " اگر دماي اتاق

در منطق دو ارزشي نياز به بيان دقيق مقدار اندازه گيري شده مي باشد تا به موقع فرمان قطع يا

عباراتي مثل سرعت زياد، خيلي زياد، متوسط و … به ع نوان خروجي به كار مي رود ، همانند آنچه

در مغز انسان صورت مي گيرد.

به طور كلي در منطق فازي احتياج به دانستن سه چيز است، اول تعريف يا مدلي براي متغيرها، دوم

چگونگي ارتباط متغيرها (اگر چند ورودي داشته باشيم ) وسوم چگونگي نتيجه گيري كه در ادامه

U در رياضيات كلاسيك با مجموع ه هاي قطعي (غيرفازي) آشنا شده ايم . براي مثال فرض كنيد

به اين صورت A به نام ،U مجموعه اعداد حقيقي بين ٠ و ١ باشد. مي توان يك زيرمجموعه از

در A ٠" . در اين صورت تابع مش خصه / تعريف كرد : "مجموعه مقادير كوچكتر يا مساوي ٢

باشند، " ١" و براي A كه عضو x ۲ نشان داده شده است . مقدار اين تابع براي مقاديري از - شكل ۱

هستند و A مقاديري كه مقدار تابع را " ١" مي كنند را مي توان به صورت مقاديري كه عضو

منطق فازي 3

A ۲ : تابع مشخصه مجموعه غير فازی - شکل ۱

نيستند بيان كرد. بنابراين مي توان گفت A مقاديري كه تابع را " ٠" مي كنند، مقاديري كه عضو

۰ عضو اين مجموعه نيست . اما همان طور كه مشخص است / ٠ عضو اين مجموعه است اما ۷ /١

اين تابع انعطاف پذيري كمي دارد، براي مثال اگر بخواهيم "اعداد نزديك به صفر " را نمايش دهيم

با مشكل م واجه مي شويم. يك جنبه اين است كه نمي توانيم اعضاي مجموعه را بيان كنيم و جنبه

ديگراينکه مرز مشخصي براي عضويت يا عدم عضويت در اين مجموعه وجود ندارد . براي حل

اين مشكل از مجموعه هاي فازي كمك مي گيريم. منطق فازي اجازه مي دهد درجه عضويت هر

عنصر عددي بين صفر و يك ( در بازه [ 0 , 1 ] ) باشد. در اين حالت تابع مشخصه اي ب ه نام

0 ] را اختيار كند . بنابراين مي توان تابع , تابع تعلق داريم كه مي تواند هر مقداري در بازه [ 1

μ(x) = 1- x 0 £ x £ 1

۳ ديده می شود در اين حالت مي توان - را براي ز يرمجموعه ياد شده آورد و همانطور که در شکل ۱

٠ متعلق به مجموعه " اعداد نزديكتر به صفر" مي باشد. / ٠ به اندازه ٧ / گفت كه عدد ٣

خواص و ويژگيهايي كه براي تعيين اعضاي مجموعه فازي بيان مي شوند به صورت فازي هستند و

يك توصيف دقيق نمي باشند، بنابراين مي توان از توابع تعلق مختلف براي نشان دادن يك مجموعه

فازي استفاده كرد. در عمل منحني هايي به كار ميرود كه نمايش رياضي ساده اي داشته در عمل

منطق فازي 4

۳: مجموعه فازی اعداد نزديک به صفر - شکل ۱

منحني هايي به كار مي رود كه نمايش رياضي ساده اي داشته باش ند و با تعداد پارامتر كمي قابل

و … Z ، تنظيم باشند، مانند: مثلث، ذوزنقه، تابع زنگوله

براي مثال يك تابع تعلق مثلثي را مي توان با سه پارامتر به صورت زير نشان داد:

A = [ a1 a2 a3 ]

۴ مشخص شده اند. - ها بر روي شكل ۱ a i كه

۴ : نمونه اي ازيک تابع تعلق مثلثي - شكل ۱

نشان مي دهند. توابع تعلق مي توانند همپوشاني μ(x) را در مجموعه فازي با x درجه عضويت

داشته باشند . بدين معني كه مي تواند با درجه عضويتهاي مختلف عضو دو يا چند تابع تعلق داشته

. ۳- باشد،مانند شکل ۵

همانطور كه گفته شد ، تابع تعلق های زيادي وجود دارد كه براي انتخاب يكي از آنها به طور كلي دو

راه وجود دارد . اول، استفاده از دانش انسان خبره است كه اين راه حل فقط يك انتخاب اوليه است

منطق فازي 5

و بايد آن را تعيين و تنظيم نمود . دوم، استفاده از داده هاي جمع آوري شده براي تنظيم دقيق تابع

تعلقي است كه ساختار كلي آنرا قب ً لا تعيين شده است.

همانند مجموعه هاي قطعي ، براي مجموعه اي فازي نيز عملگرهاي مكمل، اجتماع و اشتراك وجود

دارد كه به بررسي آنها مي پردازيم:

نشان مي دهيم. تابع مكمل بايد بتواند μA (x) را به صورت A تابع تعلق مكمل مجموعه فازي

چند شرط زير را ارضا كند :

μ (x) μ (y) μ (x) μ (y)

μ (x) 1 μ (x) 0

μ (x) 0 μ (x) 1

μA (x) 1 μA (x) توابع زيادی شروط فوق را برآورده می کنند،که يكي از آنها

مي باشد. = -

نشان مي دهند و به صورت زير نمايش داده مي شود : s عملگر اجتماع را با

s [μ (x) ,μ (x)] μ (x) A B AB =

را به ت ابع B , A نگاشتي است كه توابع تعلق s :[0,1] ´ [0,1]® [ به اين معني كه [ 0,1

تبديل مي كند.عملگر اجتماع بايد شرطهاي زير را ارضا كند : A , B تعلق اجتماع

١ ) شرطهاي مرزي زير در آن صدق كند :

s [0,μ (x)] s [μ (x),0] μ (x) A A A

منطق فازي 6

٢) داراي شرط جابجايي باشند :

s [μ (x),μ (x)] s [μ (x),μ (x)] A B B A =

٣ ) شرط صعودي در آن صدق كند :

μ (x) μ (x)

A1B1 A2B2 £ μ (x) μ (x)

μ (x) μ (x)

٤) شرط شركت پذيري در آن صدق كند:

μ (x) μ (x) (A B)C A(B C) =

.پرفسور زاده در مقاله هاي اوليه خود درباره مجموعه هاي فازي، عملگر بيشينه را براي اجتماع دو

می باشد. μ AB (x) = max [μ A (x) ,μB (x)] مجموعه فازي پيشنهاد كرده است که در آن

نشان مي دهند و به صورت زير نشان داده مي شود: t عملگر اشتراك را با

t [μ (x), μ (x)] μ (x) A B AB =

را به تابع تعلق B,A تابعي است كه توابع تعلق مجموعه هاي فازي t : [0,1]´[0,1]®[ يعني [ 0,1

عملگر اشتراك باشد بايد چهار شرط زير را برآورده t تبديل مي كند. براي اينكه رابط B,A اشتراك

نمايد:

١ ) شرط مرزي

t [0,0] 0; t [μ (x),1] t [1,μ (x)] μ (x) A A A = = =

۲ ) شرط جابجايي

t [ μ (x),μ (x)] t [ μ (x),μ (x)] A B B A =

منطق فازي 7

٣ ) شرط صعودي بودن

μ (x) μ (x)

A1B1 A2B2 Þ £

μ (x) μ (x)

μ (x) μ (x)

٤ ) شركت پذيري

μ (x) μ (x) (AB)C A(BC) =

براي اشتراك بوده است، که به صورت زير بيان می شود: min پيشنهاد پروفسور زاده عملگر

μ (x) min [μ (x) ,μ (x)] A B A B = 

نكته : بنابر كاربردهاي مختلف مي توان عملگرهاي اجتماع و اشتراك مختلفي تعريف كرد كه مطابق

آنچه گفته شد بايد شرا يط ذكر شده را برآورده سازد . بعضي از عملگرهاي اجتماع كه معرفي

شده اند عبارتند از كلاس دومبي، كلاس دبويس پريد ، كلاس ياگر، جمع دراستيك، جمع انيشتين

و جمع جبري. همچنين براي اشتراك عملگرهاي كلاس دومبي، كلاس دبويس پريد، كلاس

ياگر، ضرب دراستيك، ضرب انيشتين و ضرب جبري معرفي شده اند.

براي مشاهده روابط و تعاريف عملگرهاي فوق به مرجع [ 1] مراجعه كنيد